Main menu
You are here
Динамические системы и биоматематика
Изучаются общие свойства автономных динамических систем: лемма о выпрямлении векторного поля, теорема Лиувилля, первые интегралы. Доказывается теорема Пуанкаре-Бендиксона, вводятся индексы Пуанкаре и функция последования.
Подробно изучается предельное поведение динамических систем. Классические уравнения Ван дер Поля исследуются при помощи методов малых возмущений консервативных систем, а также с помощью отображений Пуанкаре.
Приводится теория Фоке-Ляпунова. Рассматриваются нормальные формы динамических систем в окрестности особых точек и доказывается теорема Андреева-Хопфа о бифуркации и рождении цикла на плоскости.
Изучаются дискретные и непрерывные модели динамики популяций. В основе рассмотрений лежит бифуркационный подход, когда на ряду с фазовым портретом строится параметрический. В дискретном случае изучается бифуркация удвоения цикла и элементарная теория Файгенбаума. В непрерывном случае рассмотрены классические модели Лотка-Вольтерра, а также их различные модификации, приводящие к появлению предельных циклов. Изучаются общие случаи взаимодействия трёх видов в качестве примера возможного сложного поведения.
- Свойства динамических систем (виды фазовых траекторий, групповое свойство).
- Лемма о выпрямлении векторного поля.
- Теорема Лиувилля о скорости изменения фазового объёма.
- Производные в силу системы и её свойства. Первые интегралы системы.
- Гамильтоновы системы. Фазовые траектории движения частицы в потенциальном поле (n=1).
- Классификация точек покоя линейных систем на плоскости и в пространстве.
- Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению (лемма Федорюка о возмущении жордановой матрицы).
- Предельное поведение траекторий. Свойства предельных множеств.
- Условия несуществования замкнутой траектории Бендиксона-Дюлака. Применение теоремы Брауэра для доказательства существования неподвижных точек и замкнутых траекторий.
- Функция последования (отображение Пуанкаре) и её свойства.
- Теорема Бендиксона-Пуанкаре.
- Теорема о монотонной функции Ляпунова.
- Индексы по Пуанкаре и Брауэру.
- Малые возмущения консервативных систем (по Л.С.Понтрягину). Приложение к уравнению Ван дер Поля с малым параметром.
- Доказательство существования предельного цикла в общем уравнении Ван дер Поля с помощью отображения Пуанкаре.
- Структурно устойчивые системы. Бифуркация. Бифуркации Андронова-Хопфа и гетероклиническая бифуркация.
- Теорема Пуанкаре о нормальной форме в окрестности особой точки системы. Случай резонансов.
- Нормальная форма в случае центра (n=2). Первая ляпуновская величина.
- Теорема Андронова-Хопфа (n=2).
- Теорема Флоке-Ляпунова и её применение к вопросу устойчивости линейных систем с периодическими коэффициентами.
- Дискретные модели популяций. Хаос и бифуркация в одномерных отображениях. Элементы теории Файгенбаума.
- Классическая модель Лотка-Вольтерра «хищник-жертва». Принцип Вольтера. Модель Лотка-Вольтерра с учётом внутривидовой конкуренции.
- Модель взаимодействия двух конкурирующих видов. Невозможность существования предельных циклов в классических моделях Лотка-Вольтерра на плоскости.
- Модели типа Лотка-Вольтерра с учётом различных факторов: нелинейность размножения и насыщения и т.д. Модель "хищник-жертва" Гаузе-Колмогорова.
- Моделирование эффекта Олли. Открытые модели с учётом эффекта Олли.
- Системы Лотка-Вольтерра трёх и более популяций. Классификация трофических структур. Уравнение Лотка-Вольтерра для пищевой цепи.
- Циклическое соревнование видов.
- Невырожденные модели типа Лотка-Вольтерра. Точки поглощения, необходимые условия невырожденности.
- Достаточные условия невырожденности.
- Репликаторные системы. Случай гетероциклической репликации.
- Популяционная модель с учётом возрастных распределений.
- Билокальные модели (модели Тьюринга). Возникновение автоколебаний в простейших биологических моделях.
- Биологические волны. Уравнение Фишера-Колмогорова. Уравнение Лотка-Вольтерра с учётом пространственных распределений.
- Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - Москва, Наука, 1971, 239 с.
- Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - Москва, Наука, 1978, 302 с.
- Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - Москва, Наука, 1964, 272 с.
- Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - Москва, Мир, 1986, 243 с.
- Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействия популяций. - М., Н., 1985, 179 с.
- Hofbauer J., Sigmund K. The theory of Evolution and dynamical systems. - London Math. Sos. Student Texts 7, Cambridg University Press, 1988, 341 p.
Дополнительная литература
- Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - Москва, Наука, 1981, 508 с.
- Марсден Д., Мак-Кракен Р. Бифуркация рождения цикла и её приложения. - Москва, Мир, 1981, 367 с.
- Kuznetsov Y. Elements of Theory of Applied Bifurcation. - Springer-Verlag, 1995, p. 503
- Murray J. Mathematical Biology. - Springer-Verlag, 1995, 701 p.
- Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. - М.,Н.,1978, 352 с.
- Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. - М.,Н.,1976,285 с.
