You are here

Многозначный анализ

Преподаватель: 
Семестр: 
5-6
Нагрузка: 
2 часа лекций в неделю
Форма отчетности: 
экзамены в 5 и 6 семестрах
Аннотация: 

Излагаются основы вычислительного анализа и теории двойственности. Строится теория дифференциальных включений. Излагается теория многозначных отображений: доказывается теоремы об измеримом выборе, непрерывном селекторе, теорема о неподвижной точке для многозначного отображения. Теоретический материал иллюстрируется на примерах прикладных задач.

Программа курса: 

5 семестр

  1. Выпуклые множества. Выпуклая оболочка множества и формула для неё. Линейные оболочки.
  2. Теорема Каратеодори. Выпуклая оболочка компакта - компакт.
  3. Аффинная оболочка. Аффинная независимость. Барицентрические координаты.Размерность выпуклого множества.
  4. n-мерный симплекс в R^n и непустота его внутренности. Относительная внутренность выпуклого множества и её непустота.
  5. Алгебра выпуклых множеств. Элементарные свойства. Строгая отделимость точки от несодержащего её выпуклого замкнутого множества.
  6. Отделимость и строгая отделимость выпуклых множеств.
  7. Отделимость и теорема Хана-Банаха.
  8. Выпуклые функции и их основные свойства (надграфик, эффективное множество и т.д.). Замыкание выпуклых функций.
  9. Сопряжённые функции и их свойства. Неравенство Юнга-Фенхеля.
  10. Теорема Брауэра о неподвижной точке.
  11. Теорема Фенхеля-Моро.
  12. Опорные и индикаторные функции. Их сопряжённые.
  13. Лемма Фаркаша.
  14. Субдифференциалы выпуклых функций и их свойства.
  15. Теорема Моро-Рокафеллара.
  16. Теорема Крейна-Мильмана.

6 семестр

  1. Теорема Майкла (с доказательством). Понятие о топологическом пространстве. Компактные пространства.
  2. Теорема Тихонова. Метрические пространства. Метрические компакты и их свойства. Вполне ограниченные множества. Критерии компактности. Теорема о разбиении единицы.
  3. Пространство непустых компактов K(X) и хаусдорфова метрика. Полунепрерывные сверху и снизу многозначные отображения. График. Замкнутость графика эквивалентна полунепрерывности сверху.
  4. Сепарабельность пространства K(X). Строение предбазы в K(X).
  5. Измеримое многозначное отображение.
  6. Теорема Лузина. Пересечение полунепрерывных сверху отображений и их полунепрерывность.
  7. Измеримость пересечения измеримых отображений.
  8. Существование у измеримого многозначного отображения измеримого селектора.
  9. Интеграл от многозначного отображения. Теорема Ляпунова. Выпуклость интеграла от многозначного отображения (без доказательства).
  10. Дифференциальные включения и их свойства.
  11. Теорема существования решения для дифференциальных включений.
Рекомендованная литература: 
  1. Р. Т. Рокафеллер. Выпуклый анализ. - М.,М.,1974.
  2. А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. Теория экстремальных задач. - М.,Н.,1974.
  3. А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. - М.,Н.,1974.