Многозначный анализ

5 семестр

1. Выпуклые множества. Выпуклая оболочка множества и формула для неё. Линейные оболочки.
2. Теорема Каратеодори. Выпуклая оболочка компакта - компакт.
3. Аффинная оболочка. Аффинная независимость. Барицентрические координаты.Размерность выпуклого множества.
4. n-мерный симплекс в R^n и непустота его внутренности. Относительная внутренность выпуклого множества и её непустота.
5. Алгебра выпуклых множеств. Элементарные свойства. Строгая отделимость точки от несодержащего её выпуклого замкнутого множества.
6. Отделимость и строгая отделимость выпуклых множеств.
7. Отделимость и теорема Хана-Банаха.
8. Выпуклые функции и их основные свойства (надграфик, эффективное множество и т.д.). Замыкание выпуклых функций.
9. Сопряжённые функции и их свойства. Неравенство Юнга-Фенхеля.
10. Теорема Брауэра о неподвижной точке.
11. Теорема Фенхеля-Моро.
12. Опорные и индикаторные функции. Их сопряжённые.
13. Лемма Фаркаша.
14. Субдифференциалы выпуклых функций и их свойства.
15. Теорема Моро-Рокафеллара.
16. Теорема Крейна-Мильмана.

6 семестр

1. Теорема Майкла (с доказательством). Понятие о топологическом пространстве. Компактные пространства.
2. Теорема Тихонова. Метрические пространства. Метрические компакты и их свойства. Вполне ограниченные множества. Критерии компактности. Теорема о разбиении единицы.
3. Пространство непустых компактов K(X) и хаусдорфова метрика. Полунепрерывные сверху и снизу многозначные отображения. График. Замкнутость графика эквивалентна полунепрерывности сверху.
4. Сепарабельность пространства K(X). Строение предбазы в K(X).
5. Измеримое многозначное отображение.
6. Теорема Лузина. Пересечение полунепрерывных сверху отображений и их полунепрерывность.
7. Измеримость пересечения измеримых отображений.
8. Существование у измеримого многозначного отображения измеримого селектора.
9. Интеграл от многозначного отображения. Теорема Ляпунова. Выпуклость интеграла от многозначного отображения (без доказательства).
10. Дифференциальные включения и их свойства.
11. Теорема существования решения для дифференциальных включений.