Ассистент П.А. Точилин. Семинарские занятия. 3 курс, 5 и 6 семестр. 68 часов.
План занятий
Осенний семестр
- Элементы теории множеств.
- Полукольца, кольца, алгебры множеств.
- Продолжение меры с полуколец на кольца множеств.
- Продолжение меры по Лебегу. Критерий измеримости.
- Мера Лебега на прямой. Неизмеримое множество. Мера Лебега-Стильтьеса.
- Измеримые функции. Сходимость по мере.
- Контрольная работа.
- Интеграл Лебега.
- Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
- Пространства Lp
- Метрическое пространство.
- Компактность в метрических пространствах.
- Критерии компактности в пространствах C, Lp, lp.
- Контрольная работа.
Весенний семестр
- Банахово пространство. Теорема Рисса («о трёх почти перпендикулярах»). Линейный непрерывный оператор.
- Обратный оператор. Теорема Банаха.
- Три основных принципа линейного анализа.
- Линейный непрерывный функционал. Сопряжённое пространство. Сопряжённые пространства и вид линейных функционалов для основных банаховых пространств.
- Слабая и *-слабая сходимость.
- Сопряжённый оператор.
- Контрольная работа.
- Гильбертово пространство. Пространства Соболева.
- Процесс ортогонализации, ортогональные системы многочленов.
- Самосопряжённый оператор.
- Вполне непрерывный оператор.
- Спектр линейного оператора.
- Спектр вполне непрерывных и самосопряжённых операторов.
- Контрольная работа.
Литература
Задачники
- Т. А. Леонтьева, В. С. Панфёров, В. С. Серов. Задачи по теории функций действительного переменного. М.: Изд-во МГУ, 1997.
- В. А. Треногин, Б. М. Писаревский, Т. С. Соболева. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Физматлит, 2002.
- А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1979.
Учебники
- Б. З. Вулих. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967.
- Н. Данфорд, Д. Т. Шварц. Линейные операторы. М.: ИЛ, 1962.
- К. Иосида. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
- Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.
- А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.
- Ф. Рисс, Б. Сёкефальви-Надь. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
- У. Рудин. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.