Профессор А. В. Арутюнов. Кафедральный курс лекций. 3 курс, 5-6 семестр. 36 часов.

Излагаются основы вычислительного анализа и теории двойственности. Строится теория дифференциальных включений. Излагается теория многозначных отображений: доказывается теоремы об измеримом выборе, непрерывном селекторе, теорема о неподвижной точке для многозначного отображения. Теоретический материал иллюстрируется на примерах прикладных задач.

Программа курса

5 семестр

1. Выпуклые множества. Выпуклая оболочка множества и формула для неё. Линейные оболочки.
2. Теорема Каратеодори. Выпуклая оболочка компакта - компакт.
3. Аффинная оболочка. Аффинная независимость. Барицентрические координаты.Размерность выпуклого множества.
4. n-мерный симплекс в R^n и непустота его внутренности. Относительная внутренность выпуклого множества и её непустота.
5. Алгебра выпуклых множеств. Элементарные свойства. Строгая отделимость точки от несодержащего её выпуклого замкнутого множества.
6. Отделимость и строгая отделимость выпуклых множеств.
7. Отделимость и теорема Хана-Банаха.
8. Выпуклые функции и их основные свойства (надграфик, эффективное множество и т.д.). Замыкание выпуклых функций.
9. Сопряжённые функции и их свойства. Неравенство Юнга-Фенхеля.
10. Теорема Брауэра о неподвижной точке.
11. Теорема Фенхеля-Моро.
12. Опорные и индикаторные функции. Их сопряжённые.
13. Лемма Фаркаша.
14. Субдифференциалы выпуклых функций и их свойства.
15. Теорема Моро-Рокафеллара.
16. Теорема Крейна-Мильмана.

6 семестр

1. Теорема Майкла (с доказательством). Понятие о топологическом пространстве. Компактные пространства.
2. Теорема Тихонова. Метрические пространства. Метрические компакты и их свойства. Вполне ограниченные множества. Критерии компактности. Теорема о разбиении единицы.
3. Пространство непустых компактов K(X) и хаусдорфова метрика. Полунепрерывные сверху и снизу многозначные отображения. График. Замкнутость графика эквивалентна полунепрерывности сверху.
4. Сепарабельность пространства K(X). Строение предбазы в K(X).
5. Измеримое многозначное отображение.
6. Теорема Лузина. Пересечение полунепрерывных сверху отображений и их полунепрерывность.
7. Измеримость пересечения измеримых отображений.
8. Существование у измеримого многозначного отображения измеримого селектора.
9. Интеграл от многозначного отображения. Теорема Ляпунова. Выпуклость интеграла от многозначного отображения (без доказательства).
10. Дифференциальные включения и их свойства.
11. Теорема существования решения для дифференциальных включений.

По 2 контрольные работы в каждом семестре.

Литература

1. Р. Т. Рокафеллер. Выпуклый анализ. - М.,М.,1974.
2. А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. Теория экстремальных задач. - М.,Н.,1974.
3. А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. - М.,Н.,1974.