You are here

Home

Вариационное исчисление

Преподаватель: 

доц. Н.В. Трусов

Семестр: 
7
Нагрузка: 
2 часа лекций в неделю
Форма отчетности: 
экзамен
Аннотация: 

Цель дисциплины — формирование у студентов теоретических и практических знаний в области вариационного исчисления, включая методы поиска экстремумов функционалов и их приложения в прикладных задачах.

В результате изучения курса студенты должны усвоить фундаментальные понятия вариационного исчисления, освоить методы решения классических вариационных задач (брахистохрона, изопериметрическая задача) и прикладных задач оптимизации. Научиться применять полученные знания в таких областях как оптимальное управление, математическое моделирование. Полученные компетенции позволят выпускникам формализовывать и решать оптимизационные задачи различной природы.

Программа курса: 

1.

Введение. Постановки задач вариационного исчисления.

Задача о брахистохроне, задача о геодезических линиях, изопериметрическая задача.

2.

Метод вариаций в задачах с неподвижными границами.

Уравнение Эйлера. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных. Вариационные задачи в параметрической форме.

3.

Вариационные задачи с подвижными границами и некоторые другие задачи.

Простейшая задача с подвижными границами. Условия трансверсальности в задаче с подвижными границами. Экстремали с угловыми точками. Односторонние вариации.

4.

Достаточные условия экстремума.

Поле экстремалей. Уравнение Якоби. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому вида. Условия Лежандра. Вторая вариация функционала. Необходимые условия слабого минимума, использующие условие Лежандра. Достаточные условия слабого минимума и сильного минимума, использующие условия Лежандра.

5.

Вариационные задачи на условный экстремум.

Голономные и неголономные связи. Изопериметрические задачи. Первая и вторая задачи Дидоны. Задача о движении материальной точки по плоскому желобу.

6.

Прямые методы в вариационных задачах.

Конечно-разностный метод Эйлера. Метод Ритца.
Рекомендованная литература: 

  1. Л.Э. Эльсгольц. Вариационное исчисление. Изд. стереотип. – М.: ЛЕНАНД, 2023. – 208с.

  2. И.М. Гельфанд, С.В. Фомин. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961.

  3. Э.М. Галеев. Курс лекций по вариационному исчислению и оптимальному управлению. М.: Издательство МГУ, 1996.

  4. А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. Вариационное исчисление. М.: Наука, 1974.

Вопросы к экзамену: 

  1. Постановки задач вариационного исчисления. Задача о брахистохроне, задача о геодезических линиях.

  2. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.

  3. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных.

  4. Вариационные задачи в параметрической форме.

  5. Изопериметрическая задача вариационного исчисления. Задача Дидоны.

  6. Простейшая задача с подвижными границами. Условия трансверсальности в задаче с подвижными границами.

  7. Простейшая задача с подвижными границами. Экстремали с угловыми точками.

  8. Простейшая задача с подвижными границами. Односторонние вариации.

  9. Поле экстремалей. Уравнение Якоби.

  10. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому вида.

  11. Условия Лежандра. Вторая вариация функционала. Необходимые условия слабого минимума, использующие условие Лежандра.

  12. Достаточные условия слабого минимума и сильного минимума, использующие условия Лежандра.

  13. Конечно-разностный метод Эйлера. Метод Ритца.

  • Printer-friendly version
  • PDF version