Семинар 12 декабря

Продолжает работу научный семинар «Прикладные задачи системного анализа» под руководством академика А. Б. Куржанского.

Очередной семинар пройдёт в понедельник 12 декабря в 16²⁰, ауд. 523.

С докладом на тему "Конструктивные методы и алгоритмы построения негладких решений дифференциальных игр и задач управления" выступит старший научный сотрудник Института математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН (г. Екатеринбург), к.ф.-м.н. А.А. Успенский.

Аннотация.

Рассматриваются краевые задачи для уравнений в частных производных первого порядка гамильтонова типа, решения которых допускают содержательную интерпретацию в рамках теории оптимального управления, теории позиционных дифференциальных игр, а также геометрической оптики. Приводятся процедуры конструктивного построения обобщенных решений краевых задач в аналитической или аппроксимационной форме.

1. Изучается геометрия по существу невыпуклых множеств на основе понятия меры (коэффициента) невыпуклости множества. Рассматривается проблема мажорируемости (в силу введенных определений) множеств. Определяются основные структурные элементы развиваемой теории (биссектриса множества, псевдовершина множества, крайняя точка биссектрисы, обобщенная гиперплоскость и прочее). Приводятся теоремы об отделимости невыпуклых множеств. Одна из сфер применения результатов теории – методы построения задач быстродействия и задач геометрической оптики.

2. Изучаются свойства обобщенного (фундаментального) решения краевой задачи Дирихле для уравнения типа эйконала – основного уравнения геометрической оптики. Указывается связь эйконала с функцией оптимального результата соответствующей задачи управления по быстродействию. Техника исследования, основанная на свойствах локальных диффеоморфизмов, позволяет выявлять условия возникновения сингулярности у решения. Показывается, что структура сингулярного множества определяется геометрией краевого множества и дифференциальными свойствами его границы. Приводятся формулы вычисления крайних точек сингулярного множества. Вводятся в рассмотрение многоточечные дифференциальные отношения, позволяющие вскрывать негладкие особенности обобщенных решений уравнений в частных производных первого порядка, описывать и конструировать сингулярные множества. Приводятся формулы исчисления введенных производных в силу диффеоморфизмов для некоторых классов функций.

3. В рамках метода построения аппроксимаций негладких решений динамических задач конфликтного управления, базирующегося на регуляризации функций посредством локального овыпукления, предлагаются разностные операторы приближенного построения минимаксного решения задачи Коши для уравнения типа Гамильтона-Якоби-Беллмана с положительно однородным по импульсной переменной гамильтонианом. Локальное одностороннее овыпукление функции позволяет перейти к операции суб- или супердифференцирования в смысле выпуклого анализа и свести вычисление приближенного значения решения краевой задачи к решению совокупности задач линейного программирования. Приводятся оценки скорости сходимости операторов.

4. Развивается подход к построению решения дифференциальной игры в «мягкой постановке» на основе привлечения множеств, априори не обладающих свойством слабой инвариантности, т.е. обладающих ненулевым дефектом стабильности. Содержательно дефект стабильности множества определяет размер окрестности цели, в которую гарантированно попадают решения конфликтно-управляемой системы. Отправной точкой в исследовании является максимальный стабильный мост (множество уровня минимаксного решения задачи Коши соответствующего уравнения гамильтонова типа). Мост деформируется с помощью дискриминантных преобразований, улучшающих дифференциальные свойства его границы. Устанавливается, что дефект стабильности деформации зависит квадратичным образом от коэффициента деформации. В рамках означенного подхода к построению решения дифференциальной игры предлагаются алгоритмы численного решения игровой задачи управления на плоскости в классе множеств, границы которых строятся гладким сопряжением кривых с ограниченной кривизной.