You are here

Функциональный анализ

Преподаватель: 
Семестр: 
5-6
Нагрузка: 
2 часа семинарских занятий в неделю
Форма отчетности: 
зачет в 5-ом семестре, экзамен в 6-ом семестре
Аннотация: 

Семинарские занятия сопровождают лекции по курсу "Функциональный анализ" (лектор - акад. Е.И. Моисеев), читаемые для студентов 1 потока 3 курса факультета ВМК МГУ, а также студентов 315 группы кафедры системного анализа.

Программа курса: 

Осенний семестр

  1. Элементы теории множеств.
  2. Полукольца, кольца, алгебры множеств.
  3. Продолжение меры с полуколец на кольца множеств.
  4. Продолжение меры по Лебегу. Критерий измеримости.
  5. Мера Лебега на прямой. Неизмеримое множество. Мера Лебега-Стильтьеса.
  6. Измеримые функции. Сходимость по мере.
  7. Контрольная работа.
  8. Интеграл Лебега.
  9. Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
  10. Пространства Lp
  11. Метрическое пространство.
  12. Компактность в метрических пространствах.
  13. Критерии компактности в пространствах C, Lp, lp.
  14. Контрольная работа.

Весенний семестр

  1. Банахово пространство. Теорема Рисса («о трёх почти перпендикулярах»). Линейный непрерывный оператор.
  2. Обратный оператор. Теорема Банаха.
  3. Три основных принципа линейного анализа.
  4. Линейный непрерывный функционал. Сопряжённое пространство. Сопряжённые пространства и вид линейных функционалов для основных банаховых пространств.
  5. Слабая и *-слабая сходимость.
  6. Сопряжённый оператор.
  7. Контрольная работа.
  8. Гильбертово пространство. Пространства Соболева.
  9. Процесс ортогонализации, ортогональные системы многочленов.
  10. Самосопряжённый оператор.
  11. Вполне непрерывный оператор.
  12. Спектр линейного оператора.
  13. Спектр вполне непрерывных и самосопряжённых операторов.
  14. Контрольная работа.
Рекомендованная литература: 

Задачники

  1. Т.А. Леонтьева, В.С. Панфёров, В. С. Серов. Задачи по теории функций действительного переменного. М.: Изд-во МГУ, 1997.
  2. Т.А. Леонтьева, А.В. Домрина. Задачи по теории функций и функциональному анализу с решениями. М.: Инфра-М, 2013.
  3. В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т. С. Соболева. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Физматлит, 2002.
  4. А.А. Кириллов, А.Д. Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа. М.: Наука, 1979.
Учебники
  1. Б. З. Вулих. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967.
  2. К. Иосида. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
  3. Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.
  4. А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981.
  5. Ф. Рисс, Б. Сёкефальви-Надь. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.
  6. У. Рудин. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.

Дополнительная литература

  1. П.С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука. 1977.
  2. Н. Данфорд, Д. Т. Шварц. Линейные операторы. М.: ИЛ, 1962.
  3. Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализе. М.: Мир, 1967.
  4. П. Халмош. Теория меры. М.: Факториал. 2003.