Профессор А. В. Арутюнов. Кафедральный курс лекций. 3 курс, 5-6 семестр. 36 часов.
Излагаются основы вычислительного анализа и теории двойственности. Строится теория дифференциальных включений. Излагается теория многозначных отображений: доказывается теоремы об измеримом выборе, непрерывном селекторе, теорема о неподвижной точке для многозначного отображения. Теоретический материал иллюстрируется на примерах прикладных задач.
Программа курса
5 семестр
- Выпуклые множества. Выпуклая оболочка множества и формула для неё. Линейные оболочки.
- Теорема Каратеодори. Выпуклая оболочка компакта - компакт.
- Аффинная оболочка. Аффинная независимость. Барицентрические координаты.Размерность выпуклого множества.
- n-мерный симплекс в R^n и непустота его внутренности. Относительная внутренность выпуклого множества и её непустота.
- Алгебра выпуклых множеств. Элементарные свойства. Строгая отделимость точки от несодержащего её выпуклого замкнутого множества.
- Отделимость и строгая отделимость выпуклых множеств.
- Отделимость и теорема Хана-Банаха.
- Выпуклые функции и их основные свойства (надграфик, эффективное множество и т.д.). Замыкание выпуклых функций.
- Сопряжённые функции и их свойства. Неравенство Юнга-Фенхеля.
- Теорема Брауэра о неподвижной точке.
- Теорема Фенхеля-Моро.
- Опорные и индикаторные функции. Их сопряжённые.
- Лемма Фаркаша.
- Субдифференциалы выпуклых функций и их свойства.
- Теорема Моро-Рокафеллара.
- Теорема Крейна-Мильмана.
6 семестр
- Теорема Майкла (с доказательством). Понятие о топологическом пространстве. Компактные пространства.
- Теорема Тихонова. Метрические пространства. Метрические компакты и их свойства. Вполне ограниченные множества. Критерии компактности. Теорема о разбиении единицы.
- Пространство непустых компактов K(X) и хаусдорфова метрика. Полунепрерывные сверху и снизу многозначные отображения. График. Замкнутость графика эквивалентна полунепрерывности сверху.
- Сепарабельность пространства K(X). Строение предбазы в K(X).
- Измеримое многозначное отображение.
- Теорема Лузина. Пересечение полунепрерывных сверху отображений и их полунепрерывность.
- Измеримость пересечения измеримых отображений.
- Существование у измеримого многозначного отображения измеримого селектора.
- Интеграл от многозначного отображения. Теорема Ляпунова. Выпуклость интеграла от многозначного отображения (без доказательства).
- Дифференциальные включения и их свойства.
- Теорема существования решения для дифференциальных включений.
По 2 контрольные работы в каждом семестре.
Литература
- Р. Т. Рокафеллер. Выпуклый анализ. - М.,М.,1974.
- А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров. Теория экстремальных задач. - М.,Н.,1974.
- А. Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. - М.,Н.,1974.