Ассистент П. А. Точилин. Кафедральный курс лекций. 4 курс, 7-8 семестр. Экзамен в 8 семестре.

В курсе излагаются основы теории устойчивости и стабилизации динамических систем: классические методы теории устойчивости (первый и второй метод Ляпунова, теория Флоке и др.), теория устойчивости потенциальных систем, устойчивость и стабилизация взаимосвязанных систем, устойчивость систем с запаздыванием. Рассматриваются также задачи исследования устойчивости разностных схем и дифференциальных включений, вопросы использования негладких функций Ляпунова для исследования устойчивости, а также для построения недифференцируемых стабилизирующих управлений. Рассматриваемые методы теории устойчивости и стабилизации иллюстрируются примерами из механики, экономики и других областей.

Программа курса

7 семестр

1. Устойчивость по Ляпунову, постановка общей задачи. Первые представления об устойчивости. Устойчивость по Пуассону и по Лагранжу. Определение Ляпунова. Примеры.
2. Необходимые и достаточные условия устойчивости линейных стационарных систем. Алгебраические и графические критерии устойчивости. Квадратичные функции Ляпунова. Матричное уравнение Ляпунова.
3. Устойчивость линейных периодических систем. Преобразование Ляпунова. Приводимые системы. Теория Флоке. Первый метод Ляпунова. Характеристичные числа и характеристические показатели. Индексы роста и показатели Ляпунова. Условия устойчивости линейных нестационарных систем.
4. Устойчивость нелинейных стационарных систем. Второй метод Ляпунова. Знакопостоянные и знакоопределённые функции. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Теоремы о неустойчивости Ляпунова и Четаева. Оценивание области притяжения. Устойчивость в целом. Теорема Барбашина-Красовского. Устойчивость потенциальных систем. Теорема Лагранжа. Некоторые примеры из теории колебаний.
5. Устойчивость нелинейных нестационарных систем. Определения и условия равномерной устойчивости. Асимптотическая устойчивость равномерная по начальным возмущениям. Экспоненциальная устойчивость. Теоремы обращения. Условия существования функций Ляпунова. Неравномерная асимптотическая устойчивость. Устойчивость систем с запаздыванием. Функционалы Красовского.
6. Принцип сравнения. Устойчивость по первому приближению. Векторные функции Ляпунова. Дифференциальные неравенства. Простейшие конструкции векторных функций Ляпунова. Нелинейные системы сравнения и дифференциальные уравнения Бернулли. Векторные оценки возмущенных движений.
7. Негладкие функции Ляпунова.
8. Устойчивость разностных систем. Сходимость и устойчивость дискретных процессов. Дискретные аналоги классических теорем. Устойчивость по заданным переменным. Сходимость в большом и в целом. Признаки равномерной устойчивости и сходимости. Построение сходящихся процессов. Основные понятия теории стохастической устойчивости.
9. Устойчивость решений дифференциальных включений.

8 семестр

1. Задача стабилизации управляемой системы. Понятия стабилизируемости системы по выходу и состоянию. Примеры.
2. Стабилизация линейных стационарных систем. Управляемость и наблюдаемость системы. Критерии стабилизируемости системы по состоянию. Каноническая форма Калмана.
3. Стабилизация линейной стационарной системы по выходу. Наблюдатели Люинбергера.
4. Задача оптимальной стабилизации. Матричное уравнение Риккати, существование и единственность его решения. Метод разложения характеристического многочлена.
5. Стабилизация нелинейных систем. Применение функций Ляпунова.
6. Обратная задача стабилизации.
7. Проблема гладкости стабилизирущего управления. Теорема Артштейна. Понятие асимптотической нуль-управляемости и её связь со стабилизируемостью системы. Теорема Броккета.
8. Использование разрывных управлений и негладких функций Ляпунова для решения задачи стабилизации.
9. Векторные функции Ляпунова и стабилизация взаимосвязанных систем. Теорема Бейли.

Литература

1. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.
2. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.
3. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
4. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.
5. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.
6. Румянцев В. В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.
7. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950.
8. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.
9. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Едиториал УРСС, 2010.
10. Clark F. H., Ledyaev Yu. S., Stern R. J., Wolenski P. R. Nonsmooth analysis and control theory. Springer, 1998.
11. Isidori A. Nonlinear control systems. Springer, 1989.

Экзамен

Экзаменационные вопросы.